Kako je pomoću običnih kaplica ulja otkriven osnovni električni naboj?

Davne 1909. godine otkrivanje naboja jednog elektrona bio je pothvat vrijedan Nobelove nagrade

Danas je to dobra prilika za razumijevanje četiri osnovne sile, jer saznati naboj jednog elektrona - osnovne jedinice naboja (ima jačinu od 1,6 x 10^–19 kulona), možete pomoću bilo kojeg pametnog telefona. No 1909. stvari nisu bile tako jednostavne. Tada su fizičari Robert Millikan i Harvey Fletcher to otkrili pomoću ulja. Njihov eksperiment nazvan "kapljica ulja" nije bio prvi pokušaj otkrivanja ove vrijednosti, ali je možda bio najpoznatiji i doveo je do toga da je Millikan dobio Nobelovu nagradu 1923. godine.

Ovaj povijesni eksperiment objašnjava neke važne fizikalne pojmove.

Četiri sile

U tom eksperimentu su korištene kapljice ulja kako i sam naziv kaže. Ali, u biti eksperiment ovisi o razumijevanju četiri različite sile: gravitacijske sile, električne sile, sile uzgona i sile otpora zraka. Ideja je bila iskoristiti te četiri sile za mjerenje vrijednosti električnog naboja jedne kapljice ulja.

Gravitacijska sila je najpoznatija. Ona djeluje na površini Zemlje, kao interakcija mase objekta i mase Zemlje. Ta interakcija se može prikazati kao gravitacijsko vektorsko polje, usmjereno prema dolje s veličinom od 9,8 njutna po kilogramu. Na masu u ovom gravitacijskom polju djelovati će sila jednaka umnošku mase objekta i gravitacijskog polja. (Naravno, ovo je samo jedan od primjera. Ako se objekt nalazi visoko iznad Zemlje, treba nam drugačiji primjer [što je objekt više iznad zemlje to je gravitavija slabija]).

Sljedeća je električna sila. Ona predstvlja interakciju između bilo koja dva objekta koji imaju električni naboj. Baš kao i kod gravitacijske sile, električnu silu možemo otkriti stavljanjem jednog naboja u područje s električnim poljem (E) u jedinicama njutni po kulonu. Električna sila tada će biti umnožak naboja objekta (q) i električnog polja.

Čini se da se prethodne dvije sile međusobno nadopunjuju. Ali sljedeće dvije su malo drugačije. Oni imaju veze s interakcijom između ulja i zraka kroz koji prolazi. Već razumijete silu zračnog otpora ako ste ikada ispružili ruku kroz prozor automobila u pokretu. Kako povećavate brzinu automobila, tako se povećava i sila zračnog otpora na vašoj ruci.

Kad se radi o objektima veličine ruke, otpor zraka raste proporcionalno s kvadratom brzine kretanja ruke. Međutim, ako imate vrlo malen sferni objekt (poput kapljice ulja) koji se kreće kroz zrak, ovu silu možemo izraziti sljedećom jednadžbom:

\[ F_{\nu} = 6 \pi \eta r v \]

\( \eta \) predstavlja viskoznost medija, \( r \) je polumjer kapljice, a \( v \) njezina brzina.

Ovu silu nazivamo "viskoznom" silom, baš kao kod kretanja kroz gustu tekućinu, poput ulja (za razliku od rijetkog zraka).

Zadnja sila o kojoj govorimo je sila uzgona. Kada stavite objekt u neki medij (poput zraka ili vode), medij koji objekt istiskuje djeluje na njega silama iz svih smjerova. Zbog prisutnosti gravitacije, tlak fluida povećava se bliže površini Zemlje. To rezultira time da su sile koje djeluju prema gore veće od onih koje guraju prema dolje. Ukupna sila koja se stvara i potiskuje objekt prema gore jednaka je težini istisnutog medija. (To je Arhimedov zakon.) Dakle, ako ispustite ciglu u kadu, ona će istisnuti volumen vode jednak svojoj veličini. Slično tome, bejzbolska lopta koja leti kroz zrak imat će silu uzgona jednaku težini zraka istog volumena kao lopta.

Za većinu predmeta u zraku ta je sila zanemariva u odnosu na gravitacijsku silu. No, na vrlo male kapljice ulja može imati značajan utjecaj.

Eksperiment s kapljicama ulja

Prijeđimo konačno na taj eksperiment s kapljicama ulja. Millikan i Fletcher koristili su zatvorenu komoru postavljenu iznad dviju metalnih ploča. Ploče su bile spojene na izvor visokog napona (koristili su baterije) kako bi između njih stvorili gotovo konstantno električno polje. Kako bi promatrali kretanje kapljica, postavili su mikroskop koji je bio smješten vodoravno na prostor između ploča. Eksperiment su izvodili tako da su ubrizgali ulje u komoru, a potom pomoću mikroskopa promatrali kapljice dok su padale kroz električno polje između ploča.

Da bi pokrenuli eksperiment, ubrizgavali su ulje u komoru, a zatim koristili mikroskop kako bi promatrali kapljice dok su padale kroz električno polje između elektroda.

No, Ako u komoru poprskate ulje, dobit ćete razne kapljice koje se razlikuju po veličini i masi. Zato je prvi korak izmjeriti masu kapljice koju ćete pratiti. To se može postići jednostavnim promatranjem kapljice dok pada bez da je električno polje uključeno. Dok pada, njezina brzina raste zbog gravitacijske sile, no kako se brzina povećava, raste i sila viskoznog otpora. U nekom će se trenutku vrijednosti tih dviju sila izjednačiti, a kapljica će se kretati konstantnom brzinom — to se naziva granična brzina. Millikan i Fletcher određivali su tu brzinu mikroskopom usmjerenim prema razmaku između dviju ploča.

Millikan i Fletcher određivali su tu brzinu mikroskopom usmjerenim prema razmaku između dviju ploča. Znajući udaljenost između ploča, lako su mogli izmjeriti put koji je kapljica prešla. Pomoću štoperice bilježili su vrijeme pada i — voilà! — izračunali graničnu brzinu.

Naravno, granična brzina kapljice sama po sebi nije bila cilj istraživanja. Ono što su istraživači stvarno željeli saznati bila je masa kapljice. Ključno je shvatiti da i gravitacijska sila i sila otpora ovise o veličini kapljice — no ne na isti način. Masa, a time i gravitacijska sila, proporcionalna je volumenu kapljice (koji se izračunava korištenjem gustoće ulja), a volumen je proporcionalan \( r^3 \).

No postoji još jedan čimbenik koji treba uzeti u obzir — sila uzgona. Za kapljicu ulja koja pada stalnom brzinom djeluju tri sile koje zajedno moraju dati rezultantnu silu jednaku nuli.

Da pojednostavim stvari, kombinirati ću gravitacijsku silu i silu uzgona. Obje ovise o volumenu kapljice ulja, pa ih mogu izraziti kao jednu "prividnu" težinu, koja ovisi o razlici u gustoći ulja \( \rho_o \) i gustoći zraka \( \rho_a \).

Razdijelio/razdvojio sam izraz na volumen pomnožen s razlikom u gustoći, a potom pomnožen s gravitacijskim poljem. Postavljanjem ove prividne težine da bude jednaka sili otpora, možete pronaći radijus kapljice ulja.

\[ F_{w} = \left( \frac{4 \pi r^3}{3} \right) (\rho_o - \rho_a) g \]

U ovoj jednadžbi: \( F_{w} \) je prividna težina kapljice, \( r \) je polumjer kapljice, \( \rho_o \) gustoća ulja, \( \rho_a \) gustoća zraka, a \( g \) gravitacijsko ubrzanje.

Razložio sam formulu tako da uključuje volumen pomnožen s razlikom u gustoćama i poljem gravitacije. Izjednačavanjem ove prividne težine sa silom otpora dobiva se polumjer kapljice ulja.

\[ r = \sqrt{\frac{9 \eta v_{t}}{2 (\rho_o - \rho_a) g}} \]

U ovoj jednadžbi: \( r \) je polumjer kapljice, \( \eta \) viskoznost medija, \( v_{t} \) granična (terminalna) brzina kapljice, \( \rho_o \) gustoća ulja, \( \rho_a \) gustoća zraka, a \( g \) gravitacijsko ubrzanje.

To je veličina kapljice. Iznimno je važna.

Eksperiment s uključenim električnim poljem

Imamo još jednu silu koju možemo koristiti — električnu silu. Promjenom napona između ploča mijenja se i jačina električnog polja. Zamislite da to polje možete podesiti tako da povuče kapljicu ulja prema gore. Ako ta sila, u kombinaciji s uzgonom, postane jednaka gravitacijskoj sili, kapljica bi se mogla lebdjeti na mjestu. Kad je ukupna sila nula, tada vrijedi sljedeća relacija:

\[ \left( \frac{4 \pi r^3}{3} \right) (\rho_o - \rho_a) g = qE \]

U ovoj jednadžbi: \( r \) je polumjer kapljice, \( \rho_o \) gustoća ulja, \( \rho_a \) gustoća zraka, \( g \) gravitacijsko ubrzanje, \( q \) električni naboj kapljice, a \( E \) jakost električnog polja.

Budući da su svi podaci na lijevoj strani jednadžbe već poznati (na temelju gibanja bez električnog polja), prilično je jednostavno izračunati naboj \( q \).

E tu nastupa prava čarolija. Ako ponovite eksperiment s više kapljica ulja (Millikan je u svom poznatom radu "On the Elementary Electrical Charge and the Avogadro Constant" proučio 58 kapljica), primijetit ćete da izmjereni naboji dolaze kao cjelobrojni višekratnici jednog osnovnog naboja. Drugim riječima, kapljica može imati naboj od \( 1e \), \( 2e \) ili \( 3e \), ali ne i \( 1.5e \) (pri čemu je \[ e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \]

Ovdje je \( e \) elementarni električni naboj, čija je vrijednost \( 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \) (kulona).

Tako je Millikan uspio eksperimentalno utvrditi vrijednost elementarnog naboja. Njegova izmjerena vrijednost bila je \[ e_{\text{Millikan}} = 1.592 \times 10^{-19} \, \text{C}, \]

\( e_{\text{Millikan}} \) predstavlja Millikanovo izmjereno vrijednost elementarnog naboja, koje iznosi \( 1.592 \times 10^{-19} \, \text{C} \).

što se tek neznatno razlikuje od danas prihvaćene vrijednosti. Ipak, otkriti tu vrijednost još davne 1913. godine bilo je prilično veliko postignuće.