Igra koja nije zabavna

Najpoznatiji po tome što je osmislio "Igru života", John H. Conway vješt je i u dokazivanju matematičkih teorema pomoću jednostavnih zagonetki

Ired Johna H. Conwaya na Sveučilištu Princeton je poput dječjeg vrtića za matematičare. Na desetke poliedara izrađenih od kartona u boji, poput disko kugli vise sa stropa. Među njima je i Kleinova boca [jednostrana (poput Möbiusove trake), zatvorena površina, bez volumena;] izrađena od pletene žice. Nekoliko modela kristalnih rešetki smješteno je pokraj prozora, a s poda se uzdiže piramida teniskih loptica. U središtu svega nalazi se sam Conway, naslonjen na stolicu, lica zaklonjenog prevelikim naočalama i čupave, sijede brade. Eklektični 61-godišnji matematičar očito je u svom elementu.

"Kada ste rođeni?" pita me ubrzo nakon što smo se rukovali. "19. travnja 1961.", odgovaram. "Utorak!" viče odmah.

Tada se ispravi. „Ne, dovraga! Srijeda!" Pomalo razdražen zbog svoje pogreške, objašnjava da je davno osmislio algoritam za određivanje datuma na koji pada bilo koji dan u tjednu. Nazvan pravilom Sudnjeg dana, algoritam je dovoljno jednostavan da Conway to izračuna iz glave. Točan odgovor obično može dati za manje od dvije sekunde. Da bi poboljšao brzinu, vježba pogađanje na računalu koje je programirano tako da učita program svaki puta kada se ulogira.

U ovom trenutku počeo sam se pitati zašto Princeton uopće plaća ovog čovjeka. No, tijekom posljednja tri desetljeća Conway je dao neke od svojih najvećih doprinosa matematičkoj teoriji analizirajući jednostavne zagonetke. "U mom poslu je nemoguće da uđem u ured i kažem: "Danas ću napisati teorem", priznaje Conway. “Obično mi kroz glavu prolazi dosta stvari, uključujući igre i zagonetke. I svako malo, kad se osjećam krivim, radit ću na nečemu korisnom." Conwayev produktivan rad se realizira u rasponu matematičkih disciplina, počevši od teorema o spajanju čvorova i kuglica, do otkrića cijele nove vrste brojeva - prikladno nazvanih nadrealni brojevi.

Rođen 1937. u Liverpoolu, Conway je rano pokazao zanimanje za matematiku. U dobi od samo četiri godine, znao je napamet nabrajati dva na drugu potenciju. U to je vrijeme njemački Luftwaffe bombardirao Liverpool, a Conway se dobro sjeća jednog od zračnih napada. “Dok me jedne noći otac na rukama nosio u naše sklonište u dvorištu, slučajno sam pogledao prema nebu. Nebo je bilo osvijetljeno reflektorima, a ja sam vidio kako bombe padaju iz aviona. Padale su jedna za drugom, okrećući se oko svoje osi. Činilo mi se kao prekrasan prizor, pa sam povikao: "Gle, tata! To je tako lijepo!"

Conway je pohađao Sveučilište u Cambridgeu, gdje je studirao teoriju brojeva i matematičku logiku, da bi se na kraju pridružio matematičkom odsjeku fakulteta. U slobodno vrijeme je često igrao backgammon [društvena igra na ploči s 24 polja na kojoj svaki igrač ima po 15 figura koje se pomiču ovisno o brojevima na kockicama] "Znao sam igrati backgammon u zajedničkoj prostoriji na Cambridgeu", prisjeća se Conway. "Moji bi kolege povremeno dolazili na kavu ili čaj, ali ja sam znao biti tamo cijeli dan." Conwayeva karijera je zapravo počela kasnih šezdesetih godina prošlog stoljeća, kada ga je zaintrigirala teoretska rešetka koja se proteže u 24 dimenzije. Mozgajući o toj rešetki, Conway je otkrio novi skup brojeva, skup simetrija geometrijskog objekta. Kocka, npr. ima 24 simetrije - postoje 24 načina da je zarotirate u identičan položaj. No Conwayev skup, kako je tada prozvan, ima više od 10 na 18 simetrija, što ga je činilo najvećim konačnim skupom poznatom u to vrijeme. (Kasnije je otkriven tzv. Monster skup koji ima više od 10 na 53 simetrija.) Pronalaženje novog skupa je izuzetno postignuće, a Conwayevi kolege su ga prozvali genijalcem.

Otprilike u isto vrijeme Conway je istraživao ideju "univerzalnog konstruktora", koju je 1940-ih godina prvi predstavio američki matematičar John von Neumann. Univerzalni konstruktor je hipotetički stroj koji može stvarati svoje kopije - nešto što bi bilo vrlo korisno za kolonizaciju nenaseljenih planeta. Von Neumann je stvorio matematički model za takav stroj, koristeći kao temelj kartezijanski koordinatni sistem, koji je u toj varijanti izgledao kao neka vrsta velike šahovske ploče. Conway je pojednostavio njegov model i tako je nastala Igra života.

Igra liči na igru Dame - žetoni predstvljaju "žive" stanice. S ploče se uklanjaju žetoni koji nemaju susjednih žetona ili imaju samo jedan susjedni žeton, ili one koji imaju četiri ili više susjednih žetona (ove stanice "umiru" od usamljenosti ili prenapučenosti). Žetoni s dva ili tri susjedna ostaju na ploči. Mogu se "rađati" i nove ćelije - one se dodaju u prazan prostor koji je udaljen za točno tri mjesta od susjednih žetona. Primjenom tih pravila može se storiti nevjerojatna raznolikost životnih oblika, uključujući "jedrilice" i "svemirske brodove" koji se slobodno kreću koordinatnim sustavom.

Conway je Igru života pokazao svom prijatelju Martinu Gardneru, dugogodišnjem autoru kolumne Matematičke igre u Scientific American-u. Gardner je igru opisao u svojoj kolumni iz listopada 1970., i ona je odmah postala hit. Fanatični obožavatelji Igre su čak počeli pisati programe koji su omogućavali stvaranje još složenijih oblika života. Čak i danas, gotovo 30 godina nakon njenog nastanka, Conway i dalje prima "brdo" e-mailova o Igri. "Conway je odmah postao slavan", kaže Gardner. "Ali je Igra otvorila i potpuno novu granu matematike, model staničnih automata."

Conway se uskoro počeo baviti i drugim stvarima. Neki njegovi kolege s Cambridge-a su neprestano igrali drevnu [istočnjačku] igru GO. Conway ih je često promatrao, i odlučio je razviti matematički model za igru. Primijetio je da pred kraj tipičnog Go meča, kada je ploča prekrivena linijama crnih i bijelih kamenčića [koji predstavljaju figurice], igra nalikuje zbiru nekoliko manjih igara. Conway je shvatio da se određene igre zapravo ponašaju kao brojevi. To ga je inspiriralo da formulira novu teoriju brojeva koja uključuje ne samo one poznate - cijele brojeve, racionalne brojeve, realne brojeve i tako dalje - već i transfinitne [alef] brojeve koji se koriste za označavanje broja članova beskonačno velikih skupova. Matematičari su već odavno znali da postoji više vrsta beskonačnosti. Na primjer, skup svih cijelih brojeva je beskonačno velik, ali je manji od skupa svih realnih brojeva. Conwayeva je definicija obuhvatila sve transfinitne brojeve i omogućila matematičarima izvršavanje čitavog niza osnovnih računskih operacija nad njima. Bilo je to izvanredno postignuće: definirajući konačne i transfinitne brojeve na isti način, Conway je svojom teorijom uzdrmao same temelje aritmetike. Donald E. Knuth, informatičar sa Sveučilišta Stanford je toliko bio impresioniran Conwayevim postignućem da je napisao neobičnu novelu, nazvanu "Nadrealni brojevi", u kojoj je pokušao objasniti novu matematičku teoriju. U priči Conway ima ulogu Boga - postoji lik koji se zove "C" čiji se glas svima obraća s neba. Iako se usporedba može činiti pomalo pretjeranom, Conway kaže da mu slava nije nimalo udarila u glavu. "Nakon svakog postignuća, osjećaji su mi pomiješani", kaže. “Divim se ljepoti teorije, kako se sve lijepo slaže na svoje mjesto. Ali se istovremeno divim i vlastitom uspjehu."

Conwayjev interes za igre kulminirao je 1982. godine objavom knjige Winning Ways for Your Mathematical Plays, u dva sveska, koju je napisao zajedno s Elwynom R. Berlekampom sa Sveučilišta u Berkeleyju i Richardom K. Guyjem sa Sveučilišta Calgary. Knjiga je postala svojevrsna biblija rekreativne matematike; opisuje desetke misaonih igara, od kojih su većinu osmislili sami autori, s neobičnim nazivima poput Toads and Frogs i Hackenbush Hotchpotch. Međutim, Conway naglašava da knjiga nije prvenstveno namijenjena zabavi. „Riječ je više o teoriji nego o samim igrama,“ objašnjava. „Više me zanima teorijska pozadina igre nego njezino igranje. Primjerice, teoriju nadrealnih brojeva razvio sam proučavajući igru Go, iako je nikada nisam zapravo igrao.“ Zapravo, jedina igra kojoj se redovito posvećuje je backgammon — igra koju je teško matematički analizirati zbog elementa slučajnosti.

Nažalost, Conwayjev privatni život nije bio jednako uredan kao njegovi precizni matematički teoremi. Prolazio je kroz razdoblja depresije a pretrpio je i srčani udar. Sredinom 1980-ih Conway se preselio iz Cambridgea u Princeton, a od tada se velik dio njegova rada usredotočio na geometriju. Trenutno proučava simetrije kristalnih rešetki — što objašnjava prisutnost modela rešetki u njegovom uredu. Paralelno razvija ono što sam naziva “grandioznim projektom” – preispitivanje temeljnih aksioma teorije skupova.Ipak, priznaje da mu radni ritam više nije kao nekad. „Nekada bih prolazio kroz razdoblja kada bih bio potpuno zaokupljen problemom i nisam mogao prestati razmišljati o njemu,“ priznaje. „Ali sada su takvi trenuci znatno rjeđi. Ne sjećam se kada mi se to posljednji put dogodilo.“

Među matematičarima je Conwayjeva reputacija već davno osigurana. „Teško je reći koje će od njegovih brojnih važnih otkrića najviše impresionirati buduće matematičare,“ ističe Martin Kruskal sa Sveučilišta Rutgers, koji se dugi niz godina bavio proučavanjem nadrealnih brojeva koje je Conway otkrio. Sam Conway priznaje da ga donekle brine mogućnost da njegova istraživanja igara i zagonetki zasjene njegova značajnija matematička postignuća, poput otkrića nadrealnih brojeva i Conwayjeve grupe. Ipak, njegova karijera jasno pokazuje da se iz igre i zabave često može roditi ozbiljna matematika. „Većina igara nije naročito dubokoumna,“ kaže Conway. „No ponekad ono što se činilo beznačajnim može otkriti duboki strukturni problem. A to je upravo ono što zanima matematičare.“